батарея была бы хорошим и легким вариантом, ибо боюсь, что что-то крупнее и попаду на хороший такой счет(

Если батарея давно не менялась, то можно её поменять и посмотреть помогло ли. Старую батарею в любом случае лучше менять. Лишним не будет. Обычно после 5-6 лет уже стоит подумать о замене. Если вообще родная стоит 13 года, то я бы точно с неё начал.