Если вы только что приехали на Кипр и срок вашей визы, по которой вы приехали, еще не вышел, то можно оформлять просто по паспорту

‘В посте про покупку указан необходимый документ «основание для пребывания», что туристу в таком случае указывать?

ничего не указывайте. Не рекомендую вам идти в роад департмент самостоятельно