А нет ли каких-нибудь общественных компостеров? Куда можно было бы отвозить органику

Вряд ли

Если просто выкинуть из сада органику культурно - то можно на green point. Ну там листья пальм, ветки (жечь обычно нельзя) и пр.
Физикам бесплатно, но спросят откуда и телефон (видимо для отчетности). Иногда говорят что много (это если грузовик, а не диплокабина).

Фасуле
Колосси
Парекклише
Авдиму
https://www.google.com/maps/search/green+point/@34.691233,33.1431782,12z

UPD
Не знаю где найти адрес и условия
офф сайт
https://greendot.com.cy/en/faq/

И сайт про экологию
https://www.letsmakecyprusgreen.com/ru/green-points-in-limassol/