А кто-то может подсказать при подаче на турвизу в США в поле National Identification Number что писать с рф гражданством и визитором на Кипре? Номер внутреннего паспорта?

Ничего не указывайте. Там по смыслу СНИЛС должен быть.

тогда уж скорее ИНН...

Проще выбрать does not apply, чем гадать. Нет такого однозначного дока у граждан РФ.