Подскажите пожалуйста, как правильно по-английски называются два номера на Residence Permit? Один из 6 цифр, другой начинается с букв KY и потом 7 цифр? Что-то из этого ARC, а что-то просто номер карточки?

ни то, ни другое.
arc на обратной стороне 05.... и подписан, как arc
https://vkcyprus.com/articles/10250-chto-skryvaet-kiprskij-pink-slip/

KY** - номер пермита ARC - на обратной стороне в поле с соответствующим названием