После сдачи квартиры нужно ли делать какую-то регистрацию в ней? Или просто обновить адрес в миграции и банке?

Счётчики на себя переводите (вода и свет) и потом везде (банк, налоговая, полиция и тд) данные обновляете, для этого вам как раз нужны счета будут на ваше имя.

Это на про аренду, а про новостройку - жилье закончили, сдали

Вроде нужно ещё в муниципалитет сходить, чтоб налог на кладбище приходил на ваше имя. Но у нас это делала управляющая компания для всех жильцов.