Подскажите, пожалуйста, если супруг(а) работника (с внж key personnel) устраивается на работу, в какой срок нужно заменить внж spouse visitor на spouse employee? Это вообще во всех случаях нужно делать или есть сценарии, где можно работать с визой spouse visitor?

Работать на Кипрского работодателя без смены нельзя.

Вы не можете работать на Кипре с визой "визитор". Про замену - есть информация в закрепе этого чата.