Если мы найдем работу на Кипре, пока находимся на территории Армении, потребуется ли возвращаться в РФ для выезда, или можно из Армении непосредственно выехать? Насколько я понимаю, в Армении нельзя подаваться на визы без ВНЖ, но я не уверена, как это срабатывает в случае рабочей визы.

Можно оформить entry permit от работодателя. Тогда не надо лететь в Россию.

В случае с рабочей визой консульство в стране пребывания вообще никак не задействуется. Если вам дадут entry permit — то вылетать с ним можно откуда угодно (правда, в Армении может прийтись поспорить на регистрации на рейс и на паспортном контроле, что эта бумага настоящая и даёт право влёта на Кипр).