Ребят, а сейчас ещё существует такая история, чтобы заехав по безвизу на 90 дней на Кипр , потом продлить ещё пребывание без подачи на веж по уважительной причине (медицинской)?

Нет и не было никогда. Да, ниже верно добавили, что бывают продления по медицинским причинам. Но тут важно не получить визовое нарушение.

Если вас парализовало и вы в госпитале под ивл - да, вполне, до момента выписки