Подскажите, пожалуйста, можно ли и как корректно с точки зрения migration department "вписать в договор аренды" человека, если есть действующий договор аренды до 2026, с марками, заверенный в налоговой?

Подписать с арендодателем доп.соглашение

и потом с ним идти в налоговую?

Наклейте просто марку 2 евро на лист доп. соглашения, и подкрепите к основному договору. Если сумма договора не меняется, и он уже был проштампован ранее, в налоговую ничего нести не требуется. А если сумма марок до 100 евро, то и оригинал рентала можно самому заверить, без налоговой.