Добрый день! Живу на Кипре по рабочей визе. Недавно, на всякий случай, получил второй загранспаспорт. Возникнут ли проблемы, если выеду и въеду обратно на Кипр по этому второму заграну (ARC и Residence permit оформлялись на первый) ?

Не возникнет. Всё в базе. Первый возьмите с собой на ПК

Проблема в том, что первый в это время будет скорее всего в британском консульстве (для подачи на их визу)

Сделайте копиию и покажите на ПК.