если гражданин Украины живет на Кипре по временной защите, является резидентом Кипра и получает доход как частный предприниматель в Украине на счет украинского банка от кипрской компании и платит налоги в Украине, должен ли он декларировать доход на Кипре и платить налоги и тут?

В общем случае да. Есть ряд случаев когда вы можете доказать что это представительство на/в Украине (если есть физический офис, есть персонал который там работает помимо частного предпринммателя, и т.д.), и не платить налоги на Кипре. Но эти нюансы лучше обсуждать с налоговыми экспертами по Кипру.