Добрый день. Подскажите, у человека есть гражданство РФ и ЕС, но нет ес-паспорта (только документ о том, что гражданство есть). Его не пустят на Кипр по заграннику РФ и этой бумагой? Если нет, то наличие этой бумаги упростит получение визы?

Нет и нет. Паспорт нужен ЕС или ID.