Подскажите а может ли ребенок выехать на соревнования (по доверенности с взрослым тренером) за границу Кипра если для него еще не готов пинк слип а ресит миграционная служба выдала один на dependant spouse и детей?

вам нужна re-entry visa. это не трудно. поищите по чатику. это тоже легко

к вопросу о re-entry визе. Нужна ли re-entry visa на ребенка, если у него безвизовый въезд на Кипр 90/180, но при этом у него только что кончился старый пермит, т.е. по факту из 180 дней он конечно же провёл здесь намного больше?

Нет, не нужно.