Добрый день, у кого-нибудь был опыт. Имеется человек со статусом беженца. Может ли он с этим документом поехать в какую либо поездку? Или надо делать запрос на свой загранпаспорт и по нему ехать?

Если это именно беженец - то смотреть детали вот тут
cyrefugeecouncil.org

Если это TP (временная защита) для украинцев - то смотреть детали вот тут
ukr.cy