Подскажите, плз, если подаешься на новый загран в Консульстве РФ в северной части, то и получать туда же надо ехать? Или их можно попросить оставить паспорт в основном здании консульства и забрать оттуда?

Можно. Можно даже попросить в Лимассол в почетное консульство привезти.