А нужно ли согласие второго родителя? Сам Кипр вопросов иметь не будет? Не остановят на границе?

лучший вариант - опросить авиакомпанию у которой собираетесь купить билет.

Раз вы все уже на острове - вы точно можете сделать разрешение у любого certifying officer на "южном Кипре" (напр. в Никосии), стоит ~10 евро. Это для авиакомпаний и пограничников в аэропорту.

Имеют право спросить на паспортном контроле. В последнее время у многих спрашивали в тч у моих детей два раза в мае и июле (15 и 17 лет). Нужно согласие двоих родителей для детей до 18 лет, можно в произвольной форме и заверить мухтарисом или серт офицером.