Подскажите, пожалуйста, для понимания, если pink slip был сделан одним работодателем, а потом спустя какое-то время, решил сменить компанию, этой новой компании, которая решает нанять меня, нужно получать разрешение на найм иностранца( со всеми вытекающими сложностями) или мне будет достаточно прийти в иммиграцию и предоставить новый контракт для переоформления pink slip на нового работодателя? Как это вообще происходит?

Конечно у компании которая хочет вас нанять должно быть разрешение вас нанимать для начала. А потом уже оформлять новый пинк как вы это делали на первой работе.