То есть, даже если мы были в другой стране, то это проверять не будут? Странно как-то. А на карантине буду я или только животное? И как нам на учёт в клинику тогда встать на Кипре, если мы будем на карантине?

Ну, если у вас бешенства нет, то тогда конечно тольк животина

Если все бумаги на выезд оформляются в РФ, то информации о предыдущих поездках взяться неоткуда: в чип не вписывают, в справку на будущий выезд тоже - там не предусмотрено таких строк. На Кипре никак не получат информацию, что до РФ вы были где-то еще. Евросправка действует после въезда и постановки печати кипрским ветеринаром 4 месяца, на учет можно встать уже после, и карантинные месяцы по титрам пройдут как раз, но еще раз - информация о ваших предыдущих поездках нигде не указана