Добрый день, я не нашла точной информации: перелёт через Сербию с котом, ночная пересадка. Могу ли я выйти из аэропорта с котом? Нужно ли что-то для этого делать? Вызывать вет контроль в аэропорту? При выходе и приходе из аэропорта? В любом случае багаж нужно забирать.

Сербия не в списке безопасных стран, а посему нужно будет подписать декларацию

http://www.moa.gov.cy/moa/vs/vs.nsf/All/F00B22F387B6C1E6C2257DB2002F84CC/$file/written%20declaration_article%2012%20en.pdf

Получается подписываю декларацию сама вручную на английском? А заверять ее где? Это же по прилёту на Кипр эту декларацию показываю? Верно?

Да, заполняете и подписываете. Не думаю, что заверение потребуется, так как Вы собственноручно эту декларацию и вручаете на вет. контроле по прилету. Да, показываете на Кипре по прилету.