Билет не куплен, лететь из РФ, компании разные, количество пересадок неизвестно. Иначе вообще не улететь

тогда да, звонить по каждому отрезку отдлельно, лчше еще до покупки узнать, есть ли в целом билеты и какие, и можно ли вам одному везти двух животных (не везде можно)