Для каждого животного, перевозимого Эмирейтс, необходимо оформить действующее разрешение на импорт, выданное страной назначения, и действующую справку о состоянии здоровья (включая все необходимые записи о прививках).

Не нужно. Они всем говорят это, но Кипр такого не требует. В аэропорту у нас тоже не спрашивали. Найдите здесь в чате скрин с ответом от Кипра

Как вариант можно написать в аэропорт в Ларнаке и получить ответ, что Вас ветслужба ожидает.