Проходить и в Москве и в Ереване или что?

Нет, в Ереване ничего проходить не нужно. Я прошла вет контроль в Домодедово и в Ереване уже сразу пошла на стойку регистрации с собакой, без посещения вет контроля. Всё необходимое у Вас будет прописано в сертификате.