1. Врач не прав: после последней прививки от бешенства должно пройти минимум 30 дней (без учёта дня вакцинации), это официальный регламент для сдачи титров для Евросоюза, то есть да, вам нужно передвинуть дату сдачи анализа на титры на более позднюю. Для ЕС вообще не нужна двойная вакцинация от бешенства, разве что в случаях, когда вы подозреваете, что титры могут быть низкие. Ориентируйтесь на статью о титрах из "Увожу кроликов", у них все верно описано по срокам сдачи и т.п.
2. Вообще регистрироваться в "Меркурии" должны сами сотрудники сббж, но в некоторых городах не соблюдают это правило и заставляют владельцев животных это делать. У "Кроликов" тоже можно об этом почитать.