Нам ветврач в аэропорту сказала сделать на кипре животному паспорт и никого больше не нужно будет предупреждать и ждать.

Только на Кипре ветслужбу аэропорта не нужно будет предупреждать. Авиакомпанию предупреждать нужно. Справки на выезд из России у ветеринаров получать нужно, даже если у животного есть европаспорт.