Смотрите - правильно ли я понимаю - если поставить гибридный инвертор с батареями то тогда при AEK отключениях батареи будут заряжаться? А если кондеи дома работают то при отключении - они работают от солнечных батарей или от EAK?

1. ЕАК отключают инвертор на генерацию. Поэтому при наличии батарей генерации все равно не будет 2. Кондеи при отключении инвертора работают от сети, которую инвертор пропускает насквозь

А вообще- официально батарею ставить можно или запрещено?

Серая зона, скорее не разрешено чем запрещено.