Привет, подскажите пожалуйста, при съеме жилья контракт обычно первого числа месяца начинается или может с любого числа начаться?

Можно с любого

С любого, но им часто просто впадлу новый контракт печатать. А еще могут просить деньги до 1 числа переводить, хотя договор, допустим, с 10 числа. Но очень часто выезд случается не очень легким и спорным, потому лучше прописывать все точно как есть. А если будут отказываться "да давайте так, все учтем, не будем новый печатать" - просите просто ручкой написать нужную вам дату и поставить рядом подпись, и так на всех 3 экземплярах контракта. Тут ручные правки договоров очень даже нормальная практика.