То есть без визы лететь в страну вне Шенгенского соглашения и делать там, что хочу и сколько хочу времени, как будто у себя дома

Скорее всего вам рассказали про yellow slip. Он выдается (грубо) гражданам EC и их супругам. В таком случае да, гражданин ЕС может передвигаться по ЕС без визы и работать на Кипре, и открывать ИП. Про остальное - не знаю. Уточните там, где узнали, какой именно за вид ВНЖ они имеют в виду. Так будет понятнее Ваш вопрос.

Без визы лететь в любую страну вне шенгена - это явно преувеличение) Это не только Киприоты себе позволить не могут, а даже Японцы )))