Кто сможет подсказать, если работодатель оплачивает взносы за меня в National Healthcare System, то я могу же пользоваться системой GSEY? А остальные члены семьи(жена, ребенок) смогут по этой системе пользоваться медициной.

Если ГЕСИ положена вам по рабочей визе, то и все ваши зависимые лица могут ей пользоваться.