У меня конференция 18 июня, а запись в этот TLS центр ближайшая, да и в целом единственная, только на 6 июня

там срок рассмотрения в среднем 5-6 недель, так что вы в любом случае не успеваете. Свяжитесь с поддержкой на Contact UK Visas and Immigration for help