Но я бы такую проблемную недвижимость не покупал, разве что с большой скидкой.

Нет, он киприот. ) Так в целом вроде я большой проблемы не вижу? Да, цена ниже рынка, этим привлекает. )

По идее, он может обвинить вас в посягательстве на его собственность внутри помещения. Но, раз договора нет, то и собственности внутри быть не может. По крайней мере, на законных основаниях. Отправляете письмо с уведомлением о вручении и даёте срок два месяца на выезд из квартиры. Можете для уверенности посоветоваться с юристами, они, скорее всего, скажут вам тоже самое. Титул у вас - все посторонние идут лесом.

А куда отправлять? Я даже его адреса не знаю и имени.

На этот же адрес