Возможно ли найти хоть какую-то работу на кипре человеку без разрешения на работу? Например иностранные компании в которые можно устроиться здесь, или вообще что-то серое...

Возможно. Если вы айтишник или уникальный и востребованный здесь специалист. Просто продавцом/ поваром/ строителем/ бьюти-мастером практически без шансов. Медиком - почти нереально.

Разве что всякими работами на дому/репетиторами, они почти все никак не оформляются. С сохранением всех рисков