На сайте консульства, в списке документов указано что нужно подтверждение бронирования отеля для получения национальной визы. В каком виде это должно быть и устроит ли их подтверждение от букинга?

устроит, если вы сможете оплатить. Хотя, есть предложения с оплатой на месте без резервации с карты.

С этим проблем не должно быть. Сейчас находимся в Турции. Видимо придется слетать в Москву за визой, насколько я понял одного человека достаточно чтобы подать документы на всю семью. Нам нужно попасть в Никосию в посольство США.

консульство есть ближе. Вроде, в Ереване, почетный консул оформляет визы через Москву. По крайней мере, тут об этом писали.