Скажите какие документы лучше прихватить на всякий случай из России, если из отпуска из Кипра не придется возвращаться?

Лучше все наверное при таком раскладе))

Свидетельства о браке, образовании, рождении, рождении детей - всё что есть. Кипр не требует апостиль на документы российского происхождения, поэтому перевести на англ их можно здесь.