В Москве можно податься с любой пропиской, но по живой очереди, верно? Реально за день это сделать?

Нет, только с постоянной или временной регистрацией в регионах, приписанных к московскому консульству. За день податься реально, 4-5 часов обычно. рассмотрение 10 рабочих дней.