Подскажите пожалуйста такой вопрос. А приглашающему спонсору с Кипра нужно брать выписку из трудовой, если он работает и живёт на Кипре. Или это надо только приезжающим?

Не нужно. В требованиях Консульства указано, что должно быть приложено к спонсорскому.