А болгарскую можно оформить, просто находясь в Грузии, например?

Болгарскую россиянам даже в России дают однократную под даты выезда в 90% случаев, если нет недвижимости в Болгарии. Для въезда на Кипр такая не подойдет.

А если многократная, то подойдет. Правильно?

Верно