Может ли турист прилетевший через Ларнаку улететь обратно домой через северный кипр (эрджан) . Не будет потом проблем с последующими визитами на кипр ?

Будет. Он официально не покинет Кипр и будет визовое нарушение.

Т е они не фиксируют выезд с острова если вылетать через сев кипр? Тогда вопрос : не аннулируют ли Пинк слип если сидеть на северной стороне или уехать через северную сторону и вернуться больше чем через 90 дней ?

Прочитайте закреп Там все описано

Если узнают - то аннулируют / депортируют / запретят въезд в ЕС и еще уголовку обещают.

Смотря какой турист. С паспортом ЕС может.