А если нелегально перевести с южной части животное? Просто в машине тихо пусть сидит

Наши друзья так и провозили свою собачку. Это риск конечно, но как вариант.

А тут потом в ветеренарках не было у них проблем?

Не было. Они летели через Ларнаку, там были все документы. На СК жили долго. Даже потеряли её. Почти через год случайно нашли. И прививки ставили и лечили.