впустят возможно, но потом нужно Вам думать про паспорт. Вы подадите на внж к примеру и даже если получится в полиции сдать документы быстро (это сейчас исключение) то все равно ждать внж сам ещё месяца 2-3. Итого в сухом остатке у Вас остаётся 3 месяца чтоб слетать в Грузию за паспортом. В транзите в Турции у Вас будет 3 месяца примерно до окончания действия паспорта. Это все в лучшем случае. Есть ещё второй вариант

После подачи документов в полицию и сдачи анализов Вы в принципе сможете уехать раньше даже, в течении месяца от момента подачи заявки. Но в этом случае лучше будет обратиться к специалистам по внж, которые смогут максимально ускорить весь процесс от начала до конца. В конце ускорить можно самостоятельно показав билеты например, а вот первый шаг с полицией немного сложнее