Это аренда. А кто занимается составлением и регистрацией договора? Арендодатель или риелтор?

Есть стандартные у них договоры, но можете предложить им свой или хорошо отредактировав их, все расписав (лучше всего) . Регистрируете его сами у мухтариса района. Но документ на собственность я бы всё-таки попросила.

А оплата только за первый месяц наличными? На Кипре такое возможно? Или это московские заморочки?

Можно весь период наликом орлачивать, если есть возможность. Киприоты только рады будут. 😁 Но конкретно в этой ситуации не подскажу. Может просто пошли на встречу и согласились за 1 месяц наличными принять оплату.