Подскажите, пожалуйста, где посмотреть срок действия налога на авто и как его платить лучше, а также техосмотр на авто есть тут и как его проверить? Спасибо

Налог каждый год надо платить, никакого срока действия у него нет.
https://vkcyprus.com/society/55700-vremya-platit-transportnyj-nalog/

Если вам при покупке авто не дали инфо про техосмотр (МОТ), то у вас его скорее всего нет, надо сделать, потом уже налог платить.