Подскажите, при пересечении границы с южной на северный Кипр, ставят штамп в паспорте?

Нет

Не ставят. Особенно если вы прибыли на остров через республику, а потом поехали на окупированную территорию, то проблем не будет. Но выезжать с острова через север запрещено.

Штамп в паспорте в ЗАГСЕ ставят, на границе - печать!)))